\chapter{“双核”有序结构形成机制的普适性方程推导}

\author{李国斌 }
\date{2025.08.27}
	
	\begin{abstract}
		本文旨在为跨尺度“双核”有序结构的形成机制建立一个统一的数学物理框架。基于热力学与动力学原理，本文推导了一个核心的临界判据方程，用以严格证明“低干扰条件下，由组分特性差异驱动双核结构形成”这一核心假设。模型将系统的总自由能构建为平衡项与耗散项之和，并通过求解自由能极小值点，得到了一个表达临界条件的普适不等式 $\Gamma < \frac{G_0}{\alpha} \Delta$。该方程表明，只有当外部干扰强度 $\Gamma$ 低于一个由系统内在属性（有序化能量增益 $G_0$、特性差异度 $\Delta$、耗散系数 $\alpha$）决定的阈值时，“双核”有序态才能成为系统的稳定解。此方程融合了彗星演化、溶液化学及晶体生长等不同现象背后的统一物理本质。
		
		\textbf{关键词}：双核模型；自由能；序参量；临界条件；方程推导；跨尺度
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	在先前的研究中，我们提出了一个跨尺度的“双核”结构形成机制，其核心思想是：在低干扰环境下，系统内响应特性迥异的组分会通过其内在的物理相互作用自发形成有序的“双核”或“核壳”结构。这一机制成功统一解释了从彗星、盐水溶液到半导体晶体等多种现象。
	
	然而，一个缺乏严格数学推导的理论假设尚不完备。本文的目的即是弥补这一环节，通过构建一个简明的自由能模型，推导出一个具有普适性的临界条件方程，从理论物理层面严格证明该机制的必然性，并将其表达为一个可证伪、可量化的数学形式。
	
	\section{模型建立：系统自由能的构成}
	考虑一个由两种组分构成的系统：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{组分A}：响应速度快（如：热量、易挥发物）。
		\item \textbf{组分B}：响应速度慢（如：盐分、尘埃）。
	\end{itemize}
	系统总自由能 $G$ 由两项构成：
	\begin{equation}
		G = G_{eq} + G_{diss}
	\end{equation}
	\begin{itemize}
		\item[$G_{eq}$] \textbf{平衡项}：代表系统趋向内在有序化的驱动力。
		\item[$G_{diss}$] \textbf{耗散项}：代表外部干扰对有序化的阻碍作用。
	\end{itemize}
	
	\subsection{平衡项 $G_{eq}$ 与序参量}
	引入一个\textbf{序参量（Order Parameter）} $\Phi$ 来量化系统的有序程度：
	\begin{itemize}
		\item $\Phi = 0$：代表完全无序的混合状态。
		\item $\Phi = 1$：代表完美的“双核”有序结构。
	\end{itemize}
	平衡项自由能 $G_{eq}$ 与序参量 $\Phi$ 成正比，即有序化导致能量降低：
	\begin{equation}
		G_{eq} = -G_0 \Phi
	\end{equation}
	其中 $G_0 > 0$，代表形成完美有序结构所带来的能量增益。
	
	\subsection{耗散项 $G_{diss}$ 与干扰强度}
	耗散项源于外部干扰，它阻碍有序化。其大小与：
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{干扰强度 $\Gamma$}：量化外部扰动（如温度波动、振动、浓度梯度）。
		\item \textbf{特性差异度 $\Delta$}：量化组分A与B响应特性的差异程度（如扩散系数比 $D_B/D_A$）。$\Delta$ 越大，分离驱动力越强，耗散效应相对越弱。
	\end{enumerate}
	因此，耗散项可建模为：
	\begin{equation}
		G_{diss} = \alpha \frac{\Gamma}{\Delta} (1 - \Phi)
	\end{equation}
	其中 $\alpha$ 为一个比例常数（耗散系数）。$(1 - \Phi)$ 项表明，系统越无序，耗散项对自由能的贡献越大。
	
	\subsection{总自由能函数}
	将式(2)与式(3)代入式(1)，得到系统的总自由能函数：
	\begin{equation}
		\boxed{G(\Phi) = -G_0 \Phi + \alpha \frac{\Gamma}{\Delta} (1 - \Phi)}
	\end{equation}
	
	\section{方程推导：寻找稳定有序态的临界条件}
	系统将演化至自由能 $G(\Phi)$ 最小的状态。为找到极小值点，对序参量 $\Phi$ 求导：
	\begin{equation}
		\frac{\partial G}{\partial \Phi} = -G_0 + \alpha \frac{\Gamma}{\Delta} (-1) \cdot (-1) = -G_0 + \alpha \frac{\Gamma}{\Delta}
	\end{equation}
	\begin{figure}[H]
		\centering
%		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{free_energy_curve.png} % 需要自行添加图片
		\caption{系统总自由能 $G(\Phi)$ 随序参量 $\Phi$ 的变化示意图。(a) 当 $\Gamma < \Gamma_{critical}$ 时，$G(\Phi)$ 在 $\Phi=1$ 处取得全局最小值，有序态稳定。(b) 当 $\Gamma > \Gamma_{critical}$ 时，$G(\Phi)$ 在 $\Phi=0$ 处取得全局最小值，无序态稳定。}
		\label{fig:free_energy}
	\end{figure}
	
	令导数为零，以寻找极值点：
	\begin{equation}
		- G_0 + \alpha \frac{\Gamma}{\Delta} = 0
	\end{equation}
	由此解出临界干扰强度 $\Gamma_{critical}$:
	\begin{equation}
		\alpha \frac{\Gamma_{critical}}{\Delta} = G_0 \quad \Rightarrow \quad \Gamma_{critical} = \frac{G_0 \Delta}{\alpha}
	\end{equation}
	
	该临界点的物理意义是：
	\begin{itemize}
		\item 当 $\Gamma > \Gamma_{critical}$ （\textbf{高干扰}）时，$\frac{\partial G}{\partial \Phi} > 0$。如图\ref{fig:free_energy}(b)所示，自由能随 $\Phi$ 增大而增大，因此全局最小值位于 $\Phi = 0$（\textbf{无序态稳定}）。
		\item 当 $\Gamma < \Gamma_{critical}$ （\textbf{低干扰}）时，$\frac{\partial G}{\partial \Phi} < 0$。如图\ref{fig:free_energy}(a)所示，自由能随 $\Phi$ 增大而减小，因此全局最小值位于 $\Phi = 1$（\textbf{有序态稳定}）。
	\end{itemize}
	
	\section{核心方程与物理意义}
	将上述临界条件重写为本文的核心方程与判据：
	
	\begin{equation}
		\boxed{\Gamma < \frac{G_0}{\alpha} \Delta}
	\end{equation}
	
	\textbf{方程物理意义：} 只有当外部干扰强度 $\Gamma$ 小于一个由系统内在属性（$G_0$, $\Delta$, $\alpha$）决定的临界值时，“双核”有序结构（$\Phi = 1$）才能形成并稳定存在。
	
	\subsection{参量物理内涵}
	各参量在不同系统中的具体内涵如下表所示：
	\begin{table}[H]
		\centering
		\caption{核心方程参量在不同系统中的物理内涵}
		\label{tab:parameters}
		\begin{tabular}{p{0.18\textwidth}p{0.35\textwidth}p{0.35\textwidth}}
			\toprule
			\textbf{参量} & \textbf{彗星系统} & \textbf{盐水系统} \\
			\midrule
			$\Gamma$ (干扰强度) & 太阳风强度、星子撞击率 & 环境温度、振动强度 \\
			$\Delta$ (特性差异度) & 冰与尘埃的挥发性之比 & 热扩散率与质扩散率之比（路易斯数 $Le$） \\
			$G_0$ (有序化能量增益) & 冰核-尘壳结构的引力能降低 & 离子-水合壳结构的静电能降低 \\
			\bottomrule
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\begin{figure}[H]
		\centering
%		\includegraphics[width=0.95\textwidth]{mechanism_comparison.png} % 需要自行添加图片
		\caption{基于统一方程的不同系统机制对比图。虽然宏观表现不同，但其稳定性都由同一临界条件 $\Gamma < C \cdot \Delta$ 所支配。}
		\label{fig:mechanism}
	\end{figure}
	
	\section{结论}
	本文成功推导出了一个普适性的临界条件方程 $\Gamma < \frac{G_0}{\alpha} \Delta$，从理论上有力地证明了先前提出的“双核”结构形成机制。该方程：
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{量化了“低干扰”条件}：将其明确为外部干扰强度 $\Gamma$ 必须低于一个临界阈值。
		\item \textbf揭示了内在驱动力}：指出系统的特性差异 $\Delta$ 和有序化能量增益 $G_0$ 是形成有序结构的内在根源。
	\item \textbf{统一了跨尺度现象}：表明尽管表现形态各异，但彗星、溶液、晶体等系统在其稳定有序态的形成过程中，都服从于同一个简单的物理不等式。
\end{enumerate}

该方程提供了一个强大的理论工具，可用于预测在给定条件下“双核”结构能否形成，也为在材料科学、天体化学等领域设计或调控有序结构提供了理论依据。

\section{考考AI}
哈雷彗星在近日点时，它的2个彗星核的连线垂直还是平行于轨道切线方向？
